二元序列到根的串联重复距离

我们研究了二元序列与其根之间的串联重复距离。换言之，关注的量是从集合 $\{0,1,01,10,010,101\}$ 中的一个无平方序列出发，生成一个长度为 $n$ 的二元序列所需的形如 $\seq x = \seq a \seq b \seq c \to \seq y = \seq a \seq b \seq b \seq c$ 的串联重复操作次数，其中 $\seq x$ 和 $\seq y$ 是序列，$\seq a$、$\seq b$ 和 $\seq c$ 是其子串。该问题是寻找两个序列之间重复/去重复距离的一个受限情形，后者定义为将一个序列转换为另一个序列所需的最少重复和去重复操作次数。我们同时考虑了精确和近似串联重复。对于精确重复，记长度为 $n$ 的序列到根的最大距离为 $f(n)$，我们证明了 $f(n)=\Theta(n)$。对于近似重复的情形，即允许 $\beta$ 比例的符号被错误复制，我们展示了最大距离在 $\beta=1/2$ 处存在从 $n$ 的线性关系到对数关系的急剧转变。我们还研究了具有给定根的序列以及特殊类别序列（即德布鲁因序列、图埃-莫尔斯序列和斐波那契词）到根的重复距离。该问题受基因组串联重复突变以及生成给定生物序列所需的最少串联重复事件次数所启发。