龙与地下城：关于 $dP_3$ 箭图的组合学

在本文中，我们利用簇代数、箭图突变和膜拼贴的工具，在同一框架下研究了一系列历史上的计数组合学问题。先前的工作 [Zha, LMNT14]（源于第二作者指导本科生期间）以及最近两位作者的工作 [LM17]，分析了与 $\mathbf{dP_3}$（6 次 del Pezzo 曲面，即三点吹胀的 $\mathbb{CP}^2$）锥相关的簇代数。通过研究该簇代数中仅发生在具有两个入边和两个出边的顶点上的环面突变序列，我们获得了一族可由 $\mathbb{Z}^3$ 参数化且其 Laurent 展开式（在大多数情况下）具有以二聚体配分函数表示的优雅组合解释的簇变量。尽管早期工作 [Zha, LMNT14, LM17] 仅专注于该簇代数的一种可能初始种子，但总共有四种相关的初始种子（模图同构）。在当前工作中，我们探索来自这些其他初始种子的 Laurent 展开的组学，以及这如何使我们能够将地下城（Dungeons）上的完美匹配计数与龙（Dragons）相关联。