有限链环上群代数的对偶性：在加性群码中的应用

给定一个有限群 $G$ 和一个有限链环扩张 $S|R$，可以考虑群环 $\mathscr{S} = S[G]$ 和 $\mathscr{R} = R[G]$。群环 $\mathscr{S}$ 可视为一个 $R$-双模，其任何 $R$-子模自然地继承 $R$-双模结构；在编码理论框架下，这些被称为加性群码，更确切地说，一个（左）加性群码是一个线性码，它是一个群代数的一个（左）理想通过一个将 $G$ 映射到 $S^n$ 的标准基的同构下的像，其中 $n=|G|$。本文第一部分研究了环扩张 $S|R$，并建立了若干用于分解群环的 $R$-模同构，从而刻画了加性群码的结构。第二部分，我们在 $\mathscr{S}$ 上构造了一个对称、非退化的迹-欧几里得内积。若两个加性群码 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 满足 $\mathcal{C} + \mathcal{D} = \mathscr{S}$ 且 $\mathcal{C} \cap \mathcal{D} = \{0\}$，则它们构成一个加性互补对（ACP）。对于双边 ACP，我们证明了在迹-欧几里得对偶下，一个码的正交补恰好是另一个码在 $\mathscr{S}$ 的一个对合反自同构下的像，从而将编码理论中的 ACP 与模的正交直和分解、表示论以及有限链环上群代数的结构联系起来。