关于链环上的 Eisenstein 加性码与混合字母表上的线性码

设 $\mathcal{R}_e=GR(p^e,r)[y]/\langle g(y),p^{e-1}y^t\rangle$ 为有限交换链环，其中 $p$ 为素数，$GR(p^e,r)$ 为特征为 $p^e$ 且秩为 $r$ 的 Galois 环，$t$ 和 $k$ 为满足 $e \geq 2$ 时 $1 \leq t \leq k$、$e=1$ 时 $t=k$ 的正整数，且 $g(y)=y^k+p(g_{k-1}y^{k-1}+\cdots+g_1y+g_0) \in GR(p^e,r)[y]$ 是以 $g_0$ 为 $GR(p^e,r)$ 中单位的 Eisenstein 多项式。在本文中，我们首先建立了 $\mathcal{R}_e$ 上加性码与 $\mathbb{Z}_{p^e}\mathbb{Z}_{p^{e-1}}$-线性码之间保持对偶的一一对应关系，其中 $\mathcal{R}_e$ 上加性码的特征理论对偶码对应于 $\mathbb{Z}_{p^e}\mathbb{Z}_{p^{e-1}}$-线性码的欧几里得对偶码，反之亦然。这一对应关系提供了一种构造 $\mathcal{R}_e$ 上加性码及其特征理论对偶码的方法，因为与 $\mathcal{R}_e$ 上的加性码不同，$\mathbb{Z}_{p^e}\mathbb{Z}_{p^{e-1}}$-线性码可以通过生成矩阵完全描述。我们还列出了链环 $\mathbb{Z}_4[y]/\langle y^2-2,2y \rangle$ 上达到齐次权重 Plotkin 界的加性码，这表明 $\mathcal{R}_e$ 上的加性码是寻找关于齐次度量的最优码的一类有前景的纠错码。