向上双极平行图对与子模格的二元性

设G和H为具有相同边数n的无环、向上双极定位平面图。G可用于表示流网络，H仅充当控制器。令φ和ψ分别为从{1,…,n}到G和H的边集的双射；其作用是为H的每条边定义对应的G的边。设b为Abelian群$\mathbb A$的一个元素。$(a_1, \dots, a_n)$为元素$\mathbb A$的n元组，是配对双极图问题$P:=(G,H, \phi,\psi, \mathbb A, b)$的解，当且仅当当$a_i$为边$\phi(i)$的“全或不全流”容量（$i=1, \dots, n$），且$\vec e$为H的一条最大定向路径时，通过充分利用对应于$\vec e$边的容量而忽略G其余边，我们得到将b从G的源（顶点）输送到G的汇的流过程。令$P':=(H',G', \psi',\phi', \mathbb A, b)$，其中H'和G'分别为H和G的“two-outer-facet”双对偶，$\psi'$和$\phi'$自然定义。我们证明P和P'具有相同的解。这一结果意味着乔治·赫奇顿（George Hutchinson）关于子模格的自二元性定理。