原锥成员资格的对偶证书

我们讨论在凸锥上的优化问题，其中成员资格难以直接验证。在标准对偶理论中，对偶锥$K^*$中的向量与分离超平面相关联，并被解释为原锥$K$中非成员资格的证书。作为对这一视角的补充，我们开发了由$K^*$中的向量给出的$K$中成员资格的可易于验证的证书。假设$K^*$ admits an efficiently computable logarithmically homogeneous self-concordant barrier，$K$内部的每个向量都对应一个由可高效验证的成员资格证书构成的全维锥。因此，可以使用数值方法（包括内点算法）来计算严格的证书。所提出的框架特别适用于低维线性图像的高维锥上的优化：我们论证这些问题可以通过直接在对偶锥（低维）上进行优化来求解，从而规避引入大量辅助变量的传统提升操作。作为应用，我们推导出一个新的闭式公式，用于从合适的对偶可行解计算精确的原可行解；当对偶解趋近最优性时，所计算的原解也随之趋近最优。为了说明我们方法的普适性，我们证明新的认证方案适用于多项式优化中常用的几乎所有可处理非负多项式子锥（如SOS、SONC、SAGE和SDSOS多项式等），从而便于使用数值算法计算严格的非负性证书。