通过有限元近似的前后处理使线性波问题的收敛速率加倍

本文提出了一种新颖的前处理和后处理算法，可使线性波问题有限元近似的收敛速率加倍。具体而言，研究表明，对于多项式次数为 $p$ 的有限元空间，$q$ 步前处理和后处理算法可将有限元近似在 $L^2$ 范数下的收敛阶从 $p+1$ 提高到 $p+1+q$，在能量范数下从 $p$ 提高到 $p+q$，两种情形下最高均可达到 $2p$ 阶。该 $q$ 步前处理和后处理算法只需应用一次，且至多需求解 $q$ 个线性方程组。与其他后处理方法相比，所提方法的最大优势在于使用非结构网格时不会出现收敛速率损失。其他优点包括：这一新前处理和后处理方法易于实现、自然纳入边界条件，且在靠近边界或域内强非均匀性处不损失精度。数值算例说明了采用该方法时精度和收敛速率的提升。特别是，它们证实了即便使用非结构网格或求解涉及异质域和曲边界的问题，能量范数下也可获得 $2p$ 阶收敛速率。