孤子元胞自动机中的双跳跃相变

在本文中，我们考虑 [Takahashi 1990] 中引入的具有随机初始配置的孤子元胞自动机。我们给出了一个 Young 图的多种构造，该图通过诸如生灭链和 Galton-Watson 森林等常见对象来描述系统的各种统计量。利用这些想法，我们建立了极限定理，表明如果前 $n$ 个盒子以概率 $p\in(0,1)$ 独立占据，则对于所有 $p$，孤子数量为 $n$ 阶，而最长孤子的长度在 $p<1/2$ 时为 $\log n$ 阶，在 $p=1/2$ 时为 $\sqrt{n}$ 阶，在 $p>1/2$ 时为 $n$ 阶。此外，我们揭示了超临界机制中的凝聚现象：对于每个固定的 $j\geq 1$，前 $j$ 个孤子长度在 $p\leq 1/2$ 时与最长者同阶，而在 $p>1/2$ 时除最长者外所有长度均为至多 $\log n$ 阶。作为一个应用，我们得到了长度为 $n$ 的随机可栈排序排列中第 $k$ 长递增和递减子序列长度的缩放极限，用随机游动和布朗游程表示。