双二聚体、Ising 模型与六面体递推关系

我们定义并研究了 ${\mathbb Z}^3$ 中的一种递推关系，称为六面体递推关系，它类似于八面体递推关系（Hirota 双线性差分方程）和立方体递推关系（Miwa 方程）。与这些例子类似，六面体递推关系的解是特定图上边构型的配分函数和，并在团簇代数方面具有自然解释。我们给出了递推关系中出现的 Laurent 展开式的单项式与图的特定双二聚体构型之间的显式对应关系。我们计算了相应双二聚体构型的极限形状。Ising 模型星 - 三角关系中出现的 Kashaev 差分方程是六面体递推关系的一个特例。特别是，这揭示了 Ising 模型底层的团簇结构。上述关系使我们能够证明 Kashaev 差分方程的 Laurent 现象。