双曲空间中 Poisson 超平面的 $k$-骨架是否满足中心极限定理？

研究了常曲率 $-1$ 的 $d$ 维双曲空间中 $(d-1)$ 维全测地子空间（超平面）空间上的 Poisson 过程。考虑了它们 $k$-骨架的 $k$ 维 Hausdorff 测度。得到了限制在有限观测窗口上的量与二阶量的显式公式。在两种不同设定下探讨了 $k$-骨架的 $k$ 维 Hausdorff 测度的中心极限问题：(i) 固定窗口且强度增长，以及 (ii) 固定强度且球形窗口增长。在情形 (i) 中，对所有 $d\geq 2$ 中心极限定理均成立；而在情形 (ii) 中，中心极限定理对 $d\in\{2,3\}$ 成立，当 $d\geq 4$ 且 $k=d-1$ 时或当 $d\geq 7$ 且对一般 $k$ 时失效。同时也研究了收敛速率并得到了多元中心极限定理。此外，还讨论了强度与球形窗口同时增长的情形。其背景是正态逼近的 Malliavin-Stein 方法、Poisson U-统计量的组合矩结构以及双曲积分几何中的工具。