扩张边界点的分布及其在孤独跑步者猜想中的应用

本文研究了扩张的边界点的分布。作为一个应用，我们对孤独跑步者问题作了一些说明。我们证明：给定 $k$ 个跑步者 $\mathcal{S}_i$ 绕单位圆形跑道跑步，条件是在某一时刻对所有 $i=1,2\ldots,k-2$ 有 $||\mathcal{S}_i-\mathcal{S}_{i+1}||=||\mathcal{S}_{i+1}-\mathcal{S}_{i+2}||$，则在那时对所有 $i=1,\ldots,k-1$ 有 $$||\mathcal{S}_{i+1}-\mathcal{S}_i||>\frac{\mathcal{D}(n)\pi}{k-1}$$，其中 $1>\mathcal{D}(n)>0$ 是一个依赖于某个 $n$ 次多项式次数的常数。特别地，我们证明：给定至多八个 $\mathcal{S}_i$~($i=1,2,\ldots, 8$) 跑步者以互异的恒定速度绕单位圆形跑道跑步，并且在某一时刻 $s>1$ 对所有 $1\leq i\leq 6$ 有附加条件 $||\mathcal{S}_i-\mathcal{S}_{i+1}||=||\mathcal{S}_{i+1}-\mathcal{S}_{i+2}||$，则在那时它们的相互距离必须满足下界 $$||\mathcal{S}_{i}-\mathcal{S}_{i+1}||>\frac{C\pi}{7}$$ 对所有 $1\leq i\leq 7$，其中某个常数 $1>C>0$。