线性指数检验足以证明孤独跑者猜想及其若干变体

Tao（2018）证明，要证明涉及 $n+1$ 名跑者的孤独跑者猜想（LRC），只需考虑量级为 $n^{O(n^2)}$ 的正整数速度。利用前两位作者（2017）提出的孤独跑者猜想的 zonotopal 重解释，我们在此大幅改进该结果，证明速度上限降至 $\binom{n+1}{2}^{n-1} \le n^{2n}$ 即可。我们以相同的上界证明了更一般的移位孤独跑者猜想（sLRC）的相同有限检验结果，但此处的结果依赖于一个我们称为孤独向量问题（LVP）的问题的解，该问题涉及二维空间中 $n$ 个有理向量的和集。我们还证明了对另一类推广的 sLRC——涉及 $n$ 个生成元的余单 zonotope（我们引入的一类格 zonotope）——也具有相同的有限检验上界。在最后几节中，我们考察了二维和三维情形。在二维中，我们证明了推广后的 sLRC（从而重新证明了四名跑者的 sLRC）；在三维中，我们证明要证明五名跑者的 sLRC，只需考察速度和为 195 的速度组合即可。