勉强孤独跑者与极孤独跑者

我们引入了 Wills 和 Cusick 著名孤独跑者猜想的一个强化版本。给定实数 $x$，令 $\Vert x \Vert$ 表示 $x$ 到最近整数的距离。对每组正整数速度 $v_1, \ldots, v_n$，我们定义其关联的最大孤独度为 $\text{ML}(v_1, \ldots, v_n)=\max_{t \in \mathbb{R}}\min_{1 \leq i \leq n} \Vert tv_i \Vert$。孤独跑者猜想断言对所有 $v_1, \ldots, v_n$ 的选择均有 $\text{ML}(v_1, \ldots, v_n) \geq 1/(n+1)$。若孤独跑者猜想为真，则量 $1/(n+1)$ 是最佳可能的，因为已知存在满足 $\text{ML}(v_1, \ldots, v_n)=1/(n+1)$ 的等号情形。一个自然但（据我们所知）迄今未被提出的问题为：若 $v_1, \ldots, v_n$ 满足孤独跑者猜想但非等号情形，是否必有 $\text{ML}(v_1, \ldots, v_n)$ 一致地远离 $1/(n+1)$？我们猜想，与人们的预期相反，该问题有肯定答案，反映了问题潜在的刚性。更确切地，我们猜想对每组 $v_1, \ldots, v_n$，要么有 $\text{ML}(v_1, \ldots, v_n)=s/(ns+1)$ 对某个 $s \in \mathbb{N}$，要么有 $\text{ML}(v_1, \ldots, v_n) \geq 1/n$。我们的主要结果为：对 $n \leq 3$ 确认了该更强猜想；以及对 $n=4$ 和 $n=6$ 在一个速度远快于其余速度的情形下确认了该猜想。我们还得到了若干相关结果。