分布式强直径网络分解

对于一对正参数 $D,\chi$，若将 $n$ 顶点图 $G = (V,E)$ 的顶点集 $V$ 划分为若干个互不相交的簇，每个簇的直径至多为 $D$，并且通过收缩 ${\cal P}$ 中每个簇得到的超级图 ${\cal G}({\cal P})$ 可以进行正常的 $\chi$-染色，则称该划分 ${\cal P}$ 为一个 $(D,\chi)$ 网络分解。如果每个簇具有强（相应地为弱）直径至多 $D$，即对于 ${\cal P}$ 中每个簇 $C$ 和任意两个顶点 $u,v \in C$，它们在 $C$ 的诱导图 $G(C)$（相应地在 $G$）中的距离至多为 $D$，则称分解 ${\cal P}$ 是强的（相应地为弱的）。网络分解是一种强有力的构造，在分布式计算及其他领域非常有用。Awerbuch \etal \cite{AGLP89} 和 Panconesi 与 Srinivasan \cite{PS92} 证明了强 $(2^{O(\sqrt{\log n})},2^{O(\sqrt{\log n})})$ 网络分解可以在 $2^{O(\sqrt{\log n})}$ 分布式时间内计算出来。Linial 和 Saks \cite{LS93} 设计了一个巧妙的随机算法，在 $O(\log^2 n)$ 时间内构造弱 $(O(\log n),O(\log n))$ 网络分解。然而，是否可以在分布式 $2^{o(\sqrt{\log n})}$ 时间内构造两个参数均为 $2^{o(\sqrt{\log n})}$ 的强网络分解，这一问题至今开放。在本文中，我们肯定地回答了这一长期开放问题，并证明强 $(O(\log n),O(\log n))$ 网络分解可以在 $O(\log^2 n)$ 时间内计算。我们还给出了我们网络分解参数之间的权衡。我们的工作受 Blelloch \etal \cite{BGKMPT11} 和 Miller \etal \cite{MPX13} 提出的“偏移最短路径方法”启发并依赖于此方法。这些作者为填充划分的 PRAM 算法开发了该方法。我们将他们的方法适配到分布式计算模型中的网络分解。