曲面曲线图中的距离与交点数

在本工作中，我们研究由填充曲线对 $v$ 与 $w$ 诱导的 $S$ 的胞腔分解 $Dec_{v,w}(S) = S - (v \cup w)$，及其与亏格为 $g$ 的闭可定向曲面 $S$ 的曲线图中距离函数 $d(v,w)$ 的联系。高效测地线由第一作者与 Margalit 和 Menasco 于 2016 年联合引入，给出了一个算法：以一对决定闭可定向曲面 $S$ 的曲线图中顶点 $(v,w)$ 的非分离填充曲线为起点，并从中计算出有限集的高效测地线。我们将高效测地线的工具推广以研究距离 $d(v,w)$、交点数 $i(v,w)$ 与 $Dec_{v,w}(S)$ 之间的关系。主要成果是开发并分析了 $Dec_{v,w}(S)$ 中称为螺旋的特定矩形构型。我们得以表明，在某些特殊情形下，高效测地线算法可用于构建一个在保持 $d(v,w)$ 的同时降低 $i(v,w)$ 的算法。在文末，我们指出了我们的工作与测地线扩展概念的联系。