基于耗散的 WENO 稳定化方法用于标量守恒律的高阶有限元方法

我们提出了一种关于在标量双曲守恒律高阶方法中使用加权本质无振荡（WENO）重构的新视角。本工作主要关注连续 Galerkin（CG）近似的非线性稳定化。所提方法也为间断 Galerkin（DG）方法的基于 WENO 的限制器提供了一个有趣的替代方案。与用 WENO 重构覆盖有限元解的 Runge--Kutta DG 格式不同，我们的方法使用基于重构的光滑性传感器来混合高阶和低阶稳定化项的数值黏性算子。如此定义的 WENO 近似在激波附近引入低阶非线性扩散，同时在精确解足够光滑的区域保持线性稳定基准离散化的高阶精度。底层重构过程在由网格单元及其邻域组成的模板上执行 Hermite 插值。数值耗散量取决于重构候选多项式与底层有限元近似的偏导数之间的相对差异。所有导数都被所采用的光滑性传感器考虑。为评估我们 CG-WENO 格式的精度，我们推导了误差估计并进行了数值实验。特别地，我们证明了非线性稳定化的一致性误差阶为 $p+1/2$，其中 $p$ 为多项式次数。该估计对一般网格是最优的。对于均匀网格和光滑精确解，实验观察到的收敛率高达 $p+1$。