邻域猜想的证伪及其对SAT问题的意义

我们研究了Beck描述的一个Maker/Breaker游戏。结果，我们证伪了Beck关于位置游戏的一个猜想，建立了该游戏与SAT问题之间的联系，并构造了一个每个变量出现次数很少的不可满足的k-CNF公式，从而改进了Hoory和Szeider的先前结果，并表明由Lovasz局部引理得到的界在常数因子意义下是紧的。我们研究的Maker/Breaker游戏如下。Maker和Breaker轮流从一个给定的n一致超图F中选择顶点，Maker先手。Maker的目标是完全占据一条超边，而Breaker试图避免这种情况。Beck猜想，如果F的最大邻域大小至多为2^(n-1)，则Breaker有获胜策略。我们通过构造一个最大邻域大小为3*2^(n-3)且Maker有获胜策略的n一致超图，证伪了这一猜想。此外，我们展示了如何构造一个最大度为2^(n-1)/n且Maker有获胜策略的n一致超图。最后，我们建立了SAT问题与我们研究的Maker/Breaker游戏之间的联系。我们可以利用这种联系推导出SAT问题的新结果。Kratochvil、Savicky和Tuza证明了，对于每个k >= 3，存在一个整数f(k)，使得每个(k,f(k))-公式都是可满足的，但(k,f(k)+1)-SAT已经是NP完全的（f(k)是否可计算尚不清楚）。Kratochvil、Savicky和Tuza还给出了最佳已知下界f(k) = Omega(2^k/k)，这是Lovasz局部引理的一个推论。我们证明，实际上f(k) = Theta(2^k/k)，改进了Hoory和Szeider给出的最佳已知上界O((log k) * 2^k/k)。