多值函数的解散定理及其在经验 Wasserstein 距离和平均情况统计界限中的应用

我们证明了将解散定理推广到波兰概率空间之间的多值函数的情形。经典解散定理保证沿由可测函数纤维构成的划分对概率度进行解散，而我们的定理给出概率度能否沿由可测多值函数纤维定义的覆盖对底层空间进行解散的必要充分条件。基于该定理，我们引入一种新统计概念：我们声明度量波兰概率空间是渐进可解散的，如果 $n$ 个 i.i.d. 的球（半径减小）在概率上趋于必然地携带解散。我们给出若干一维和高维渐进可解散空间的实例，伴随定量速率，也给出强反例。最后，我们给出该渐进可解散概念的两个应用。首先，我们证明渐进可解散空间可轻易地对 Wasserstein 空间中的大数定律进行高概率量化，这在所有维度上要么恢复要么改善了已知最佳速率，且始终不会比现有速率差的多出指数级 $n$ 的因子，其中 $n$ 为样本点数。其次，我们证明任何渐进可解散空间都可对 Lipschitz 函数的期望用其 i.i.d. 样本的经验平均来近似的误差给出高概率界限。该界限是平均情况的，因其只依赖于函数在经验平均上的局部 Lipschitz 常数，而非由 Kantorovich-Rubinstein 弱对偶性得到的全局 Lipschitz 常数。