曲率集用于动态数据的判别

拓扑数据分析(TDA)中的技术已被证明在研究动态系统中产生的时间依赖数据方面效果显著，例如动物群体行为和神经科学中的时空模式。虽然早期算法利用了对动态数据的持久图的高效更新，但它们在区分在每个固定时间均等距但在定性上有所不同的行为方面存在困难。为此，Kim和M\'emoli引入了用于动态度量空间的时空持久性框架， resulting in 多参数持久模块。然而，这些模块带来了计算挑战。为此，我们建立在G\'omez和M\'emoli的观察基础上，后者指出，度量空间中大小为(2k+2)点子集的Rips复合的同调——称为主曲率集——既可计算也具有信息性。我们将这一思想扩展到动态环境中，通过引入动态曲率集持久同调，将Kim和M\'emoli的时空框架应用于曲率集。我们证明，所得的多参数持久模块是区间分解的：事实上，它们具备我们称为反链分解的更强属性。利用这一属性，我们提出了一种新算法，有效计算任意反链分解模块(包括但不限于我们构造产生的模块)之间的侵蚀距离$d_E$(Patel所述)。此外，我们的构造对Kim和M\'emoli提出的用于时序数据集的广义Gromov-Hausdorff距离具有稳定性。这使得能够区分动态数据的稳健计算管道得以实现，作为Boids模型实验的演示，其中我们成功检测到了参数变化。