超越加法函数的偏差及其在公平分配中的应用

我们考虑这样一种情形：我们有一个基集M，以及一组实值集合函数 $f_1, \dots, f_n$，目标是将M划分为两个集合 $S_1,S_2$，使得 $|f_i(S_1) - f_i(S_2)|$ 对每个i都很小。许多偏差理论的结果可以以这种形式表述，其中函数 $f_i$ 为加法函数。在本文中，我们着手研究非加法情况，即不假设 $f_i$ 为加法函数。我们表明，即使不做加法假设，上界仍然最多为 $O(\sqrt{n \log n})$。我们的结果对不可分割物品的公平分配具有意义。特别是，我们表明对于n个代理人，总 Utility 为单调函数时，总有一个 $O(\sqrt{n \log n})$ 的共识二分法。此前仅已知此设置下的 $O(n)$ 上界。