薄障碍问题的直接等周不等式及其应用

对于薄障碍问题，我们通过一种新的直接方法证明了在任何维度下，频率为 $\frac32$ 和 $2m$（其中 $m\in \mathbb N$）的 Weiss 能量均满足等周不等式，后一种情况为对数型。特别是，与经典陈述不同，我们不预先假设任何接近特定齐次函数类的条件。在二维情况下，我们还证明了在任意自由边界点处的等周不等式。作为第一个应用，我们改进了爆破的可容许频率集，此前已知为 $\lambda \in \{\frac32\} \cup [2,\infty)$，并对全局 $\lambda$-齐次极小化子进行了分类，其中 $\lambda\in [\frac32,2+c]\cup\bigcup_{m\in \mathbb N}(2m-c_m^-,2m+c_m^+)$，从而表明频率 $\frac32$ 和 $2m$ 是孤立的。其次，我们给出了自由边界正则性的简短且自包含的证明，该结果此前由 Athanasopoulos-Caffarelli-Salsa (Amer. J. Math., 130(2) (2008), 485-498) 针对正则点以及 Garofalo-Petrosyan (Invent. Math., 177(2) (2009), 415-461) 针对奇异点获得；我们利用了一种对数型等周不等式，该不等式首次适用于薄障碍自由边界的所有奇异点。特别是，我们通过显式的对数连续模提高了频率为 $2m$ 的奇异集的 $C^1$ 正则性。