基于扩散映射的反馈粒子滤波器增益函数逼近算法

反馈粒子滤波器（FPF）是一种在连续时间设定下近似非线性滤波问题解的 Numerical 算法。在 FPF 算法的任何数值实现中，主要挑战是数值逼近所谓的增益函数。增益函数逼近的数值算法是本文的主题。精确增益函数是涉及概率加权拉普拉斯算子 $\Delta_\rho$ 的泊松方程的解。该数值问题是要仅使用从概率分布 $\rho$ 采样的有限个粒子来逼近此解。作者在前述工作中提出了一种基于扩散映射的算法来解决该问题。之所以如此命名，是因为它作为一个中间步骤涉及对精确半群 $e^{\Delta_\rho}$ 的扩散映射逼近。本文的原创贡献是对该基于扩散映射的算法进行严格的误差分析。误差显示为包含偏置与方差两部分。偏置源于对精确半群的扩散映射逼近。方差因有限样本量而产生。推导了偏置与方差的标度律与上界。随后用数值实验说明这些界，以强调问题维度与样本量的影响。所提算法应用于两个滤波实例，并与序列重要性重采样（SIR）粒子滤波器进行比较。