基于雅可比多项式的积分微分法

本文重新审视了由Mboup、Fliess和Join最初提出的、基于雅可比多项式的数值积分微分法，并聚焦于所使用的积分窗口居中的中心情形。这种基于雅可比多项式的方法是通过代数方法引入的，并推广了由Lanczos引入的数值积分微分法。本文提出的方法用于从属于至少$C^{n+1+q}$ ($q \in \mathbb{N}$) 类的光滑函数的含噪数据中估计$n$阶 ($n \in \mathbb{N}$) 导数。在Mboup、Fliess和Join最近关于因果和反因果情形的研究中，他们探讨并改进了由泰勒展开截断引起的模型失配问题，从而在导数估计中允许一个小的时延。对于中心情形，我们证明在无噪声情况下，对于$f\in C^{n+q+2}$，偏差误差为$O(h^{q+2})$，其中$h$是积分窗口长度；而对于适当选择的积分窗口长度，相应的收敛速度为$O(\delta^{\frac{q+1}{n+1+q}})$，其中$\delta$是噪声水平。数值算例表明，该方法稳定且有效。