图的素界判定

给定图 $G$，若对于每个 $v\in V(G)\setminus M$，$v$ 要么与 $M$ 中的所有元素相邻，要么与 $M$ 中所有元素都不相邻，则 $V(G)$ 的子集 $M$ 称为 $G$ 的一个模（module）。例如，$V(G)$、$\emptyset$ 和 $\{v\}$（其中 $v\in V(G)$）是 $G$ 的模，称为平凡模。给定图 $G$，$\omega_M(G)$（分别为 $\alpha_M(G)$）表示最大整数 $m$，使得存在 $G$ 的一个模 $M$，其在 $G$ 中是一个团（分别为独立集），且 $|M|=m$。如果 $|V(G)|\geq 4$ 且其所有模均为平凡模，则称图 $G$ 为素图（prime graph）。$G$ 的素界是最小整数 $p(G)$，使得存在一个素图 $H$ 满足 $V(H)\supseteq V(G)$，$H[V(G)]=G$ 且 $|V(H)\setminus V(G)|=p(G)$。我们建立了以下结论：对于每个满足 $\max(\alpha_M(G),\omega_M(G))\geq 2$ 且 $\log_2(\max(\alpha_M(G),\omega_M(G)))$ 不是整数的图 $G$，有 $p(G)=\lceil\log_2(\max(\alpha_M(G),\omega_M(G)))\rceil$。接着，我们证明了对于每个满足 $\max(\alpha_M(G),\omega_M(G))=2^k$（其中 $k\geq 1$）的图 $G$，$p(G)=k$ 或 $k+1$。此外，$p(G)=k+1$ 当且仅当 $G$ 或其补图拥有 $2^k$ 个孤立顶点。最后，我们证明了对于每个满足 $|V(G)|\geq 4$ 且 $\alpha_M(G)=\omega_M(G)=1$ 的非素图 $G$，有 $p(G)=1$。