资产定价模型中Lévy指数的确定

我们考虑在给定衍生品价格数据的情况下,确定资产价格Lévy模型中的Lévy指数问题。该模型在真实世界测度$\mathbb P$下表述,由定价核$\{\pi_t\}_{t\geq0}$以及由一个相同Lévy过程驱动的一个或多个不支付股息的风险资产组成。若$\{S_t\}_{t\geq0}$表示此类资产的价格过程,则$\{\pi_t S_t\}_{t\geq0}$为$\mathbb P$-鞅。假设Lévy过程$\{ \xi_t \}_{t\geq0}$具有指数矩,意味着对区间$A \subset \mathbb R$中包含原点为其真子集的$\alpha$,存在Lévy指数$\psi(\alpha) = t^{-1}\log \mathbb E(\rm e^{\alpha \xi_t})$。我们证明,若幂 payoff 衍生品(其 payoff 为$H_T = (\zeta_T)^q$,对某时间$T>0$)的初始价格对一系列$q$值给定,其中$\{\zeta_t\}_{t\geq0}$为由$\zeta_t = 1/\pi_t$定义的所谓基准组合,则Lévy指数可确定到一个无关线性项。在此设定下,衍生品价格蕴含关于价格跳跃的完整信息:特别地,价格跳跃的谱可由当前衍生品市场价格算出。更一般地,若$H_T = (S_T)^q$对应由Lévy过程驱动的普通不支付股息风险资产,且若我们已知定价核由相同Lévy过程驱动(至多相差一个比例因子),则由幂 payoff 衍生品的当前价格可推断Lévy指数的结构,至多一个变换$\psi(\alpha) \rightarrow \psi(\alpha + \mu) - \psi(\mu) + c \alpha$,其中$c$和$\mu$为常数。