Schmidt 博弈及其他交截博弈的确定性

Schmidt 博弈及其他类似的交截博弈近年来在数论、动力系统与丢番图逼近理论的应用中发挥了重要作用。这些博弈是实博弈，即玩家从完备可分度量空间中走子的博弈。这些博弈的确定性可由实博弈确定性公理 $\mathsf{AD}_\mathbb{R}$ 平凡推出，而该公理远强于断言所有整数博弈均确定的公理 $\mathsf{AD}$。我们的主要结果之一是一个一般定理：在 $\mathsf{AD}$ 假设下，它蕴含具有允许策略被简化之性质的交截博弈的确定性。特别地，我们证明了 $\mathbb{R}$ 上的 Schmidt $(\alpha,\beta,\rho)$ 博弈仅由 $\mathsf{AD}$ 即可确定，但对于 $n \geq 3$ 的 $\mathbb{R}^n$，我们证明 $\mathsf{AD}$ 并不蕴含该博弈的确定性。我们还证明了若干其他专门关于 Schmidt 博弈确定性的结果。这些结果凸显了从 $\mathsf{AD}$ 得到 Schmidt 博弈确定性时所面临的障碍。