基于幂迭代检测隐社区及其与经典谱算法的联系
组合数学
2022-11-09 v1
摘要
随机块模型中的社区检测是图聚类核心问题之一。自其提出以来，许多后续论文在解决和理解该模型方面取得了重大进展。在此设定下，谱算法是被最广泛使用的框架之一。然而，尽管研究历史长久，仍存在未解决的挑战。主要开放问题之一是“简单”（经典）谱算法的设计与分析，尤其当社区数量较大时。本文中，我们提供两种算法。第一种基于幂迭代方法。它是一种简单算法，仅比较幂次邻接矩阵的行。与 Van Vu（Combinatorics Probability and Computing, 2018）在稠密图机制下的最佳已知界相比，我们的算法达到最优（至多对数因子）。此外，我们的算法对“小簇障碍”也具有鲁棒性，能在任意数量小簇存在时恢复大簇。随后基于幂次邻接矩阵与特征向量之间的联系，我们给出了平衡情形下针对大量社区的经典谱算法。这回答了 Van Vu（Combinatorics Probability and Computing, 2018）在平衡情形下的一个开放问题。我们的方法也部分解决了 Abbe、Fan、Wang 和 Zhong（Annals of Statistics, 2020）所讨论的技术障碍。在技术方面，我们引入随机划分方法来分析幂次随机矩阵的每一项。该方法可视为 Wigner 迹方法的特向量版本。回想 Wigner 迹方法将幂次矩阵的迹与特征值相联系，我们的方法将整个幂次矩阵与特征向量张成空间相联系。我们期望该方法在随机矩阵理论中有更多应用。
引用
@article{arxiv.2211.03939,
title = {Detecting Hidden Communities by Power Iterations with Connections to Vanilla Spectral Algorithms},
author = {Chandra Sekhar Mukherjee and Jiapeng Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.03939},
year = {2022}
}