二维 Euler 方程中涡旋薄片的去奇点化

我们展示了如何通过光滑、紧支撑的涡旋场来正则化涡旋薄片，使其渐进演化符合 Birkhoff-Rott 涡旋薄片动力学。更精确地说，考虑一个位于闭合曲线上的有符号 Radon 度量作为初始涡旋薄片数据 $\omega^0_{\mathrm{sing}}$。我们构造一族初始涡旋 $\omega^0_\varepsilon \in C^\infty_c(\mathbb{R}^2)$，当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，其在分布意义上收敛于 $\omega^0_{\mathrm{sing}}$，并证明对应的解 $\omega_\varepsilon(x,t)$ 对二维不可压缩 Euler 方程的解收敛于由初始数据 $\omega^0_{\mathrm{sing}}$ 定义的 Birkhoff-Rott 系统所产生的度量。该正则化方法依赖于一种层结构构建，旨在利用关键观察：克莱因-赫尔曼不稳定性具有强烈各向异性效应：而涡旋在切向方向必须解析，层在法向方向的排列方式基本上是任意的。