大体积平均场极限下 Bogoliubov 时间演化的推导

零温下量子系统平均场极限的推导在近几十年吸引了众多研究者。近期的发展是在有效描述中考虑配对关联，这导致对弱耦合极限下 Bose 气体谱性质和动力学更精确的描述。虽然平均场结果通常仅给出约化密度矩阵的收敛性，但在考虑 Bogoliubov 于其 1947 年开创性论文中提出的配对关联时，可获得范数收敛。本文中我们考虑相互作用 Bose 气体在气体体积和密度同时趋于无穷的情形。我们假设耦合常数使得涨落的自相互作用为领先阶，这导致气体中具有有限（非零）声速。在我们的第一个主要结果中，我们表明当气体密度趋于无穷且体积增长不过快时，N 体描述与 Bogoliubov 描述之间的差异在 $L^2$ 中很小。这描述了量级为体积的非定域激发的动力学。在我们的第二个主要结果中，我们考虑靠近基态、具有量级为密度的宏观定域激发的相互作用 Bose 气体。我们证明来自 N 体 Schrödinger 方程的激发的微观动力学收敛于一个有效动力学，即具有 Bogoliubov 色散关系的自由演化。主要技术新颖性是对大体积下凝聚体之外粒子数的所有矩的估计，特别是对其分布尾部的控制。