极端物理信息原理的推导

定义观测效应的未知振幅律$q(x)$可利用极端物理信息（EPI）原理求得。EPI 的推导如下：观测遵循信息流$J \to I$，其中$J$为源固有的信息，$I$为其数据中的 Fisher 信息水平，满足 (i) $I=4 \int dx (q')^2$。此处$q'= dq/dx$且$p(x) = q(x)^2$为概率。此前已利用 L. Hardy 定义物理学的 5 条公理证明$I = \max$。因此，其变分 (ii) $\delta I = 0$。注意$I$是通用的，对所有源效应均满足 (i)，而$J$则特定于具体效应。因此，$J$不具有 (i) 的形式，而是满足 (iii) $J = \int dx j[q(x),s(x)]$，其中$j$是其自变量的某个函数，$s(x)$为已知源，如质量、生物适应度等。信息$I$在任何不可逆操作（如测量）下都会减少，故$I \le J$，或等价地，$I = kJ$，其中$0 \le k \le 1$。于是变分$\delta I = k \delta J$，从而由性质 (ii) 可得 (iv) $\delta J = 0$。结合 (ii) 和 (iv)，有$\delta(I - J) = 0$。即，$I - J = L = \text{extremum}$。是何种极值？由方程 (i) 和 (iii) 可得 (v) $L=4(q')^2 - j[q(x),s(x)]$。对 (v) 求导，$(d^2 L )/(dq'^2) = +8$。根据 Legendre 条件，该极值为极小值。未知源效应满足 (vi) $I - J= \text{minimum}$，即 EPI。