不可约算子在迹类范数下的稠密性

1968年，保罗·哈尔莫斯开创了关于可分离希尔伯特空间上不可约算子集合稠密性研究。长期以来未解的难题是：不可约算子集合是否在B(H)中依据迹类范数拓扑稠密？即，对每个算子T和任意$\varepsilon>0$，是否存在一个迹类算子K，使得T+K为不可约且$\|K\|_1<\varepsilon$？对于$p>1$，要证明$\|\cdot\|_p$范数下不可约算子在B(H)中的稠密性，一种型如Weyl- von Neumann定理是关键技术。但传统方法在$p=1$的情况下失败，此时$\|\cdot\|_p$范数指谢滨$p$范数。在本文中，针对B(H)中大一类算子，给出上述长期问题的肯定答案。该结果源于算子理论和算子代数技术的结合。此外，我们发现该问题与与之相关的与类型$\mathrm{II}_1$ von Neumann代数相关的算子理论问题之间存在密切联系。