基于深度学习的多相位 Schr"odinger 方程半经典极限矩闭合问题

我们提出了一种基于深度学习的方法，用于计算 Schr"odinger 方程半经典极限的多相位解。传统方法需要推导多相位假设以闭合 Liouville 方程的矩系统，这一过程通常计算昂贵且不切实际。我们的方法提供了一种高效替代方案，通过引入一种新颖的两阶段神经网络框架来闭合 $2N\times 2N$ 的矩系统，其中 $N$ 表示解 ansatz 中的相位数。在第一阶段，我们训练神经网络来学习高阶矩与低阶矩（以及它们的导数）之间的映射。第二阶段引入物理感知神经网络（PINNs），将所学的高阶矩代入系统中进行闭合。我们为神经网络近似的损失函数和收敛提供了理论保证。数值实验表明，该方法对于各种相位数 $N$ 的一维和二维问题具有有效性。结果确认了所提出方法在准确性和计算效率方面优于传统技术。