小量子 sl_2 的伴随表示的分解

给定一个有限型根数据和一个本原单位根 $q=\sqrt[l]{1}$，G.~Lusztig 在 [Lu] 中定义了在分圆域 ${\Bbb Q}(\sqrt[l]{1})$ 上的一个重要的有限维 Hopf 代数 $\fu$。在本文中，我们研究在根数据 $sl_2$ 的最简单情况下 $\fu$ 的伴随表示 $\ad$。该表示的半单部分在任意亏格下 WZW 模型中 $\hat{sl}_2$ 在水平 $l-2$ 的共形块的局部系统的研究中具有重要意义。区分半单部分的问题与共形块的积分表示问题密切相关（参见 [BFS]）。我们找到了 $\ad$ 的所有不可分解直和项及其重数。结果表明，$\ad$ 同构于简单模和射影模的直和。它可以提升为带除幂的（无限维）量子包络代数 $U_q(sl_2)$ 上的模，该模也是简单模和射影模的直和。