超平面排列的分解：VC 维、组合维与点定位

$\renewcommand{\Re}{\mathbb{R}}$ 我们重新考察两种主要空间分解技术的参数——底顶点三角化与竖直分解，包括它们对维数 $d$ 的显式依赖，并发现了若干意外现象，表明在两种技术中，VC 维（与原始 shattered 维）和组合维之间均存在较大差距。对于竖直分解，组合维仅为 $2d$，原始 shattered 维至多为 $d(d+1)$，而 VC 维至少为 $1 + d(d+1)/2$ 且至多为 $O(d^3)$。对于底顶点三角化，原始 shattered 维与组合维均为 $\Theta(d^2)$，但二者之间似乎存在显著差距：组合维为 $\frac12d(d+3)$，而原始 shattered 维至多为 $d(d+1)$，VC 维介于 $d(d+1)$ 与 $5d^2 \log{d}$（对 $d\ge 9$）之间。我们的主要应用是 $\Re^d$ 中 $n$ 个超平面排列的点定位，其中我们表明，若使用竖直分解替代底顶点三角化，Meiser 算法中的查询代价可得以改善，代价是预处理代价与存储的一定增加。我们可获得的最佳查询时间为 $O(d^3\log n)$，而非 Meiser 算法中的 $O(d^4\log d\log n)$。为使这些界成立，预处理与存储相当大（关于 $d$ 超指数级）。我们讨论了查询代价与存储之间的权衡（在两种方法之间，即使用底顶点三角化的方法与使用竖直分解的方法）。