通过学习中精确辛映射对一般哈密顿动力学进行数据驱动预测

我们考虑由潜在辛映射生成的非线性时间序列的学习与预测。一个特例是(未必可分离的)哈密顿系统,其解流给出此类辛映射。对此特例,既有基于学习潜在 ODE 向量场的通用方法,也有基于学习生成向量场的哈密顿量的专用方法。然而我们的方法不同:它不依赖向量场也不假设其存在;而是直接在离散时间中学习辛演化映射。此外,我们通过生成函数表示辛映射,并以神经网络逼近之(故名 GFNN),从而实现这一点。如此,我们对演化映射的逼近总是\emph{精确}辛的。这一额外几何结构使每步局部预测误差以受控方式累积,且我们将在合理假设下证明全局预测误差随长预测时间至多\emph{线性}增长,显著优于原本的指数增长。另外,作为基于映射因而纯数据驱动的方法,GFNN 避免了基于向量场的方法中两类常见误差来源,即由数据有限差分逼近向量场之误差,以及为预测而对向量场作数值积分之误差。数值实验进一步佐证了我们的论断。