数据驱动的多项式混沌展开：一种加权最小二乘逼近

在本文中，我们将数据驱动的多项式混沌展开与加权最小二乘方法相结合，以解决不确定性量化（UQ）问题。数据驱动多项式混沌的思想是利用输入随机变量的统计矩来构造任意多项式混沌展开，然后利用此类数据驱动基函数进行 UQ 计算。此处我们遵循 \cite{Ahlfeld_2016SAMBA} 的基函数构造流程，其中基函数通过对矩的 Hankel 矩阵进行矩阵运算得到。与以往工作不同，在后处理部分，我们提出一种加权最小二乘方法来求解 UQ 问题。该方法包含采样策略与最小二乘求解器。我们方法的主要特点有两个方面：一方面，我们的采样策略与随机输入无关。更确切地说，我们提出采用平衡测度进行采样，且该测度也与数据驱动基函数无关。因此，此过程可预先完成（或以离线方式进行）。另一方面，我们提出求解 Christoffel 函数加权的最小二乘问题，该策略具有拟线性稳定性——所需 PDE 求解器数量关于（数据驱动）基函数数量呈线性依赖（至多相差对数因子）。因此，这一新方法有望用于处理一类具有认知不确定性的题目。我们给出了若干数值测试以展示方法的有效性。