高维流形上 Langevin 动力学的数据驱动高效求解器

我们基于收集到的样本点 $\{\mathsf{x}_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{M}$ 研究具有流形结构 $\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^p$ 的物理系统的 Langevin 动力学，这些样本点探测了未知流形 $\mathcal{M}$。通过扩散映射，我们首先学习对应于 $\{\mathsf{x}_i\}_{i=1}^n$ 的反应坐标 $\{\mathsf{y}_i\}_{i=1}^n\subset \mathcal{N}$，其中 $\mathcal{N}$ 是与 $\mathcal{M}$ 微分同胚且在 $\mathbb{R}^\ell$（$\ell \ll p$）中等距嵌入的流形。以反应坐标表示的 $\mathcal{N}$ 上诱导的 Langevin 动力学捕捉了诸如生化反应中构象变化的慢时间尺度动力学。为构造 $\mathcal{N}$ 上 Langevin 动力学的高效且稳定的近似，我们利用对应于反应坐标 $\mathsf{y}$ 的流形 $\mathcal{N}$ 上的 Fokker-Planck 方程。我们针对该 Fokker-Planck 方程提出了一种可实现的、无条件稳定的数据驱动有限体积格式，其自动纳入了 $\mathcal{N}$ 的流形结构。此外，我们给出了有限体积格式到 $\mathcal{N}$ 上 Fokker-Planck 方程的加权 $L^2$ 收敛分析。所提出的有限体积格式在 $\{\mathsf{y}_i\}_{i=1}^n$ 上导出一个具有近似转移概率及最近邻点间跳跃率的 Markov 链。经过无条件稳定的显式时间离散后，该数据驱动有限体积格式给出了 $\mathcal{N}$ 上 Langevin 动力学的近似 Markov 过程，且该近似 Markov 过程具备细致平衡、遍历性及其他良好性质。