基于有限数据采集的圆柱绕流动力学系统数据驱动发现

通过动态模态分解（DMD）提取动力学系统控制原理的核心挑战之一在于数据可用性的限制，本文正式称之为有限数据采集（Limited Data Acquisition）。为了在有限数据采集条件下发现动力学系统的控制原理，我们提供了一种基于 Koopman 算子的核化扩展 DMD（KeDMD）变体，该方法利用高斯随机矩阵的概念，恢复了标准圆柱绕流实验中的主导 Koopman 模态。结果表明，传统的核函数——高斯径向基函数核，在执行有限数据采集的 KeDMD 场景下无法生成所需的 Koopman 模态。然而，当针对上述实验提供数据集快照形式的有限数据时，拉普拉斯核函数成功生成了所需的 Koopman 模态，本文旨在报告这些令人振奋的实验见解。本文还探讨了当 Koopman 算子与由归一化概率 Lebesgue 测度 $d\mu_{\sigma,1,\mathbb{C}^n}(z)=(2\pi\sigma^2)^{-n}\exp\left(-\frac{\|z\|_2}{\sigma}\right)dV(z)$ 产生的再生核希尔伯特空间（RKHS）相互作用时的功能，该空间以 $L^2$ 意义嵌入到 $\mathbb{C}^n$ 上的全纯函数空间中，旨在确定圆柱绕流实验的 Koopman 模态。我们在 $L^2$ 意义下探索了由归一化拉普拉斯测度 $d\mu_{\sigma,1,\mathbb{C}^n}(z)$ 生成的 RKHS 上 Koopman 算子的算子理论特征。在此过程中，我们提供了 $L^2$ 意义下由归一化拉普拉斯测度生成的 RKHS 上 Koopman 算子的紧化与可闭化表征。