k型D'Atri空间及与Jacobi算子相关的几何类

本文继续由第二作者开始的关于$k$-D'Atri空间（$1\leq k \leq n-1$，$n$表示流形维数）几何性质的研究。已知$k\geq 1$的$k$-D'Atri空间与沿测地线的Jacobi算子$R_{v}$的性质相关，因为该作者已证明对于任何单位切向量$v$，${\operatorname{tr}}R_{v}$和${\operatorname{tr}}R_{v}^{2}$在测地流下不变。本文在假设黎曼流形为D'Atri空间的前提下，主要结果证明了当$k\geq 3$时，${\operatorname{tr}}R_{v}^{3}$在测地流下也不变。此外，还得到了与Ledger条件相关的Jacobi算子的其他性质，并将其应用于Iwasawa型空间。在Iwasawa型D'Atri空间类中，我们给出了非紧型对称空间的两种不同刻画：它们恰好是$\frak{C}$-空间，另一方面，它们是某个$k\geq 3$的$k$-D'Atri空间。在后一种情形下，它们也是对所有$k=1,...,n-1$的$k$-D'Atri空间。特别地，对于某个$k\geq 3$是$k$-D'Atri的Damek-Ricci空间是对称的。最后，我们将对所有$k=1,...,n-1$的$k$-D'Atri空间刻画为$\frak{SC}$-空间（测地对称性保持小测地球面的主曲率）。此外，将此结果应用于4维齐性空间，我们证明了D'Atri（1-D'Atri）空间或3-D'Atri空间的性质等价于对所有$k=1,2,3$是$k$-D'Atri空间的性质。