排列上的循环筛法——FindStat 数据库中映射与统计量的分析

我们利用 SageMath 搜索 FindStat 组合统计数据库，对排列统计量和排列上的双射映射进行了系统研究，以识别循环筛法现象（CSP）的明显实例。当统计量生成函数在本原 $n$ 次单位根的 $d$ 次幂处的取值等于映射的 $d$ 次幂下的不动点数量时，循环筛法发生在一个对象集合、一个统计量和一个阶为 $n$ 的映射上。在我们实验发现的明显实例中，我们证明了 34 个新的 CSP 实例并猜想另外三个。我们的结果主要按轨道结构组织，证明了具有 $2^{n-1}$ 个不动点和 $2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}$ 个不动点的对合，以及所有轨道大小相同的映射的 CSP 实例。表现出 CSP 的 FindStat 映射包括由 Corteel 构建的映射（使用 Foata 和 Zeilberger 的双射）以交换嵌套数和交叉数、逆 Laguerre 堆映射、Alexandersson 和 Kebede 设计的旨在保持右到左最小值的映射、长循环共轭，以及反转、补集、旋转、Lehmer 码旋转和环面提升（toric promotion）。我们的结果与 [Elder, Lafreni\`ere, McNicholas, Striker, Welch 2023] 的结果相结合表明，与普遍预期相反，表现出同质性（homomesy）的动作不一定是 CSP 的最佳候选者，反之亦然。