Schwarzschild 测地线几何中弯曲空间、弯曲时间与弯曲时空

我们研究关联于 Schwarzschild 几何的度量下的测地轨道与流形，分别考虑空间与时间曲率。对于“无时间”空间，我们用椭圆积分求解了一个中心测地轨道方程。双侧赤道平面的内蕴几何对应于完整 Flamm 抛物面的几何。出现两类测地线。两类都可能绕洞区任意次数或不绕，并相应自交。正则测地线到达大于 $r_S$ Schwarzschild 半径的近星点，从而局限于 Flamm 抛物面的一半。奇异或 $s$-测地线切向到达 $r_S$ 圆。这些 $s$-测地线必须被视为穿过完整 Flamm 抛物面的“腰带”。任意两点间可能画出无穷多条测地线，但它们必须属于特定的正则或奇异类型。可用碰撞参数作出精确分类。测地结构与完备性由描绘 Schwarzschild 赤道平面或 Flamm 抛物面的计算机生成图形传达。对于无任何空间曲率的“弯曲时间”度量，测地轨道具有与 Schwarzschild 时空中相同的拱点。我们特别关注零测地线。对于光线掠过太阳的极限，渐近的“空间弯曲”与“时间弯曲”变得基本相等，相加为广义相对论预言的总光线偏折 1.75 角秒。然而，对于近星点更接近 $r_S$ 的情形，“时间弯曲”大大超过光线的“空间弯曲”，而二者之和仍显著低于 Schwarzschild 时空的情形。