容量理论的密码学应用：关于Coppersmith单变量多项式方法的最优性

我们建立了Coppersmith寻找多项式同余模整数的小解的方法与代数曲线的adelic子集的容量理论之间的新联系。Coppersmith的方法使用格基规约来构造一个在目标解处为零的辅助多项式。容量理论提供了一套工具，用于证明具有某些有界性质的多项式何时存在或不存在。利用容量理论，我们证明了Coppersmith单变量多项式的界是最优的，即不存在他所使用的那类辅助多项式能够找到模$N$的首一$d$次多项式的大小为$N^{1/d+\epsilon}$的根。我们的结果排除了任意次数多项式的存在性，且不依赖于格算法，从而消除了对Coppersmith界甚至超多项式时间改进的可能性。我们将该结果推广到使用二项式多项式构造辅助多项式的情况，并排除了任何此类形式的辅助多项式能找到大小为$N^{1/d+\epsilon}$的解的可能性，除非$N$有一个非常小的素因子。