具有幂律耦合的长程模型临界行为中的交叉现象

这是一篇关于两篇论文的简短综述，涉及在 $\mathbb{Z}^d$ 上由平移不变幂律步长分布/耦合 $D(x)\propto|x|^{-d-\alpha}$（对于某些 $\alpha>0$）定义的自避行走、渗流和 Ising 模型等长程模型的临界两点函数 $G_{p_c}(x)$ 的 $x$ 空间渐近行为。设 $S_1(x)$ 为由 $D$ 生成的随机行走 Green 函数。我们已经证明：$\bullet~~S_1(x)$ 的渐近行为从 Newton 势（$\alpha>2$）变为 Riesz 势（$\alpha<2$），在 $\alpha=2$ 时具有对数修正；$\bullet~~$在维度高于（或等于，如果 $\alpha=2$）上临界维度 $d_c$（且具有足够大的展宽参数 $L$）时，当 $|x|\to\infty$，$G_{p_c}(x)\sim\frac{A}{p_c}S_1(x)$。依赖于模型的 $A$ 和 $d_c$ 在 $\alpha=2$ 处表现出交叉。证明的关键是： 对底层随机行走的详细分析以推导 $S_1$ 的精确渐近行为； 对幂函数卷积的界限（如果 $\alpha=2$，带对数修正）以最优地控制花边展开系数 $\pi_p^{(n)}$；以及 对 $D$ 与交错级数 $\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\pi_p^{(n)}$ 的函数 $\varPi_p$ 的卷积的概率解释（仅在 $\alpha\le2$ 时有效）。我们概述了证明，特别强调了上述渗流的关键要素。