集体行为中的临界数量性

自然集体，尽管由可能不知其自身数量的个体组成，却能表现出对其数量敏感的行为。本文证明，对数量不敏感的个体的集体行为甚至可以存在一个临界数量性，高于和低于该临界值时，其行为有质的区别。我们以一族零一律的形式形式化了临界数量性的概念，并引入了一个名为链式激活与传输（CAT）的集体运动模型，该模型具有临界数量性。CAT 将 $n \geq 2$ 个个体的集体运动描述为一个马尔可夫链，该链每次重新排列 $d$ 维网格中 $n$ 个元素的子集，每次处理 $m < n$ 个元素。根据个体的动力学，每一步 CAT 从集合中移除 $m$ 个元素，然后逐步将 $m$ 个元素添加到剩余部分的边界上，其方式有利于连续添加和移除邻近的元素。本文证明，若 $d \geq 3$，则 CAT 在其直径行为方面具有临界数量性 $n_c = 2m+2$。具体来说，若 $n < n_c$，则元素形成一个“簇”，其直径具有几乎必然有限的下确界极限。然而，若 $n \geq n_c$，则存在一个几乎必然有限的时间，此时集合由大小在 $m+1$ 到 $2m+1$ 个元素之间的簇组成，并且此后这些簇会永远地彼此远离，导致直径无限制地增长。临界数量性的存在意味着集体可以表现出纯粹由其数量而非其密度或相互作用强度所决定的“相变”。这一事实挑战了关于集体行为的普遍观念，并为可编程物质提出了新的功能。更广泛地说，它展示了通过研究重新排列集合的随机过程来探索集体可能行为的机遇。