二阶微分方程组的$L^{p}$-耗散性准则

我们给出了形如$\partial_{h}({\mathscr A}^{hk}(x)\partial_{k})$的偏微分算子组的Dirichlet问题$L^{p}$-耗散性的完整代数刻画，其中${\mathscr A}^{hk}(x)$为$m\times m$矩阵。首先，我们确定了具有复系数的一般标量算子的耗散性锐角。其次，我们证明二维弹性算子为$L^{p}$-耗散的当且仅当 $$({1\over 2}-{1\over p})^{2} \leq {2(\nu-1)(2\nu-1)\over (3-4\nu)^{2}},$$ 其中$\nu$为泊松比。最后，我们找到了算子$\partial_{h} ({\mathscr A}^{h}(x)\partial_{h})$的$L^{p}$-耗散性的一个充分必要条件，其中${\mathscr A}^{h}(x)$为具有复$L^{1}_{\rm loc}$元素的$m\times m$矩阵，并描述了该算子的$L^{p}$-耗散性最大角。