二维布朗运动与随机游走的覆盖时间
概率论
2007-05-23 v2 组合数学
微分几何
摘要
设 T(x,r) 为二维环面上布朗运动首次击中以 x 为中心、半径为 r 的圆盘的时刻。我们证明 sup_{x} T(x,r)/|log r|^2 --> 2/pi（当 r --> 0）。同样结论适用于任意光滑、紧致连通、二维、单位面积且无边界的黎曼流形上的布朗运动。由此，我们证明了 Aldous (1989) 的一个猜想，即简单随机游走覆盖格点环面 Z_n^2 所有点所需步数渐近于 (2n log n)^2/pi。确定这些渐近量是分析覆盖完成前未覆盖点集分形结构的关键一步；此前该结构仅在物理文献中被非严格地研究过。我们还确立了 Kesten 与 Revesz 的一个猜想，其描述了 Z^2 上简单随机游走覆盖半径为 n 的圆盘所需步数的渐近性。
引用
@article{arxiv.math/0107191,
title = {Cover Times for Brownian Motion and Random Walks in Two Dimensions},
author = {Amir Dembo and Yuval Peres and Jay Rosen and Ofer Zeitouni},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0107191},
year = {2007}
}
备注
Conflict between definitions of constants in section 5 cleared on November 26, 2003