动态黎曼流形上的协变多尺度负耦合：用于无限维系统拓扑持久性的几何框架
混沌动力学
2026-03-10 v1 动力系统
计算物理
摘要
耗散在非线性演化方程中常导致维数降低，进而引起吸引子坍缩和动力学丰富性的丧失。为抵消这一现象，我们引入了一个几何框架，用于在光滑黎曼流形上对协变多尺度负耦合系统（C-MNCS）进行形式化，以适用于广泛的半线性耗散 PDE。该耦合机制在动力学分离的谱带之间重新分配能量，诱导尺度平衡的反馈，防止有限维退化。我们在 Sobolev 空间中建立了耦合状态-度量演化系统的短时正则性，并推导了相空间收缩率的先验估计。此外，在全局有界性假设下，我们证明了全局吸引子具有严格的有限 Hausdorff 和 Kaplan-Yorke 维数。为将抽象的拓扑边界与物理实现相连，我们提炼出核心的自适应谱负耦合（ASNC）机制进行数值验证。高分辨率实验利用完全耦合的 ETDRK4 方案和基于连续 QR 分解的 Lyapunov 指数计算，在 conformally平坦的二维动态标量流形上进行，验证了理论预测。这些计算明确展示了高维吸引子在强烈宏观耗散下的稳定化。这种几何一致的机制为在无限维动力学系统中保持结构复杂性和多尺度控制提供了新范式。
引用
@article{arxiv.2603.07325,
title = {Covariant Multi-Scale Negative Coupling on Dynamic Riemannian Manifolds: A Geometric Framework for Topological Persistence in Infinite-Dimensional Systems},
author = {Pengyue Hou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.07325},
year = {2026}
}
备注
27 pages, 1 figure. Includes a fully reproducible GPU-accelerated (CuPy) Python solver for tracking the continuous Lyapunov spectrum and Kaplan-Yorke dimension on dynamic manifolds in the ancillary files