抽象的几何：通过递归商化实现持续学习

在固定维度空间中运行的持续学习系统面临一个根本性的几何障碍：平坦流形问题。当经验被表示为欧几里得空间中线性轨迹时，时间事件之间的测地距离随时间线性增长，迫使所需的覆盖数发散。在固定维度的硬件中，这种体积扩张不可避免地导致轨迹重叠，表现为灾难性遗忘。本文提出了一种基于递归度量收缩的几何解决方案。我们将抽象形式化为一种拓扑变形：一种在已验证的时间邻域内将度量张量压缩的商映射，有效地将局部子流形的直径驱动到零。我们通过四个严谨的结果来支撑我们的框架。首先，Bounded Capacity Theorem（有界容量定理）表明，递归商映射允许将任意长度的轨迹嵌入到有界的表示容量中，将线性度量增长转化为对数拓扑深度。其次，Topological Collapse Separability Theorem（拓扑坍缩可分离性定理）通过Urysohn引理推导，证明了递归商化使非线性可分离的时间序列在极限情况下变得线性可分，绕过了对无限维核投影的需求。第三，Parity-Partitioned Stability Theorem（奇偶分区稳定性定理）通过证明如果状态空间被划分为正交的流动流形和支架流形，主动学习的度量变形不会干扰存储记忆的稳定性，从而解决了灾难性遗忘问题。我们的分析揭示了神经网络架构中的标记（token）可作为奇点或虫洞实现，这是一种极端正曲率的区域，桥接时间流形中相互远离的点。