Banach 空间中布朗运动的耦合

考虑支撑非平凡高斯测度 $\mu$ 的可分 Banach 空间 $\mathcal{W}$。以下是 Banach 空间上高斯测度理论的直接推论：两个从起始点 $\mathbf{B}(0)$ 和 $\widetilde{\mathbf{B}}(0)$ 出发的 $\mathcal{W}$ 值布朗运动 $\mathbf{B}$ 和 $\widetilde{\mathbf{B}}$ 存在（几乎必然）成功耦合，当且仅当其初始位置之差 $\mathbf{B}(0)-\widetilde{\mathbf{B}}(0)$ 属于 $\mathcal{W}$ 中对应于 $\mu$ 的 Cameron-Martin 空间 $\mathcal{H}_{\mu}$。对于更一般的起始点，能否存在“在时间 $\infty$ 处的耦合”，使得当 $t\to\infty$ 时几乎必然有 $\|\mathbf{B}(t)-\widetilde{\mathbf{B}}(t)\|_{\mathcal{W}} \to 0$？若存在 $\mathcal{W}$ 的 Schauder 基同时也是 $\mathcal{H}_{\mu}$ 的标准正交基，则此类耦合存在。我们提出（并讨论了部分解答）如下问题：能在多大程度上将“在时间 $\infty$ 处的布朗耦合总是可行”这一概率 Banach 空间性质纯粹用 Banach 空间几何来表述？