量子二维单分量等离子体在半空间中的关联与求和规则

本文是前文 [L. \v{S}amaj and B. Jancovici, 2007 J. Stat. Mech. P02002] 的续篇；对于由平面硬壁（无镜像力）限定的半空间中的近经典量子流体，我们此前已将平衡统计量的 Wigner-Kirkwood 展开推广为普朗克常数 $\hbar$ 的幂级数。作为更详细研究的模型系统，我们考虑量子二维单分量等离子体：一种带电粒子系统，在二维空间中通过对数库仑势相互作用，处于带相反符号的均匀带电背景中，使得总电荷为零。当 $\beta e^2=2$ 时（其中 $\beta$ 为逆温度，$e$ 为粒子电荷），相应的经典系统在多种几何构型（包括当前的半平面）中均可精确求解：所有经典的 $n$ 体密度均为已知。对于量子单分量等离子体，很久以前便已通过启发式宏观论证导出了涉及截断二体密度（其中一个还涉及密度分布）的两个求和规则：一个求和规则关于截断二体密度沿壁面的渐近形式，另一个关于结构因子的偶极矩。在 $\beta e^2=2$ 的二维情形下，我们现已获得这两种量子密度直至 $\hbar^2$ 阶的显式表达式，因此我们可以在该阶上微观地验证这些求和规则。验证结果为正，进一步证实了这些求和规则是正确的。